Question

16．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为$\sqrt{3}$，那么这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度；
（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$，则∠BAC的度数是75°或15°；
（3）已知圆内接△ABC中．AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数；
（2）连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可；
（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD=10cm；圆心在内接三角形外时，AD=4cm．

解答 解：（1）如图1，过O作OD⊥AB，则AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵OA=1，
∴sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOD=60°．
∵∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠ACB=∠AOD=60°．
又∵四边形AEBC是圆内接四边形，
∴∠AEB=180°-∠ACB=180°-60°=120°．
故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．
故答案为：60°或120度．

（2）解：有两种情况：
①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图3所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：AE=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos∠OAF=$\frac{AF}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°-30°=15°，
故答案为：75°或15°；

（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，
如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，
∵AB=AC，
∴AD是BC的中垂线，
∴OD也是BC的中垂线，
∴A、O、D三点共线，
∵OD=3cm，OB=7cm，
∴AD=10cm，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{35}$cm；
如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
和图4解法一样，只是AD=7-3=4cm，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{14}$cm，
综上可得腰长AB=2$\sqrt{35}$cm或2$\sqrt{14}$cm．

点评 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．