Question

6．已知，平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），C点坐标为（m，0）（0＜m＜8），D为线段BC上一点，以D为圆心，r为半径作⊙D．
（1）如图1，若⊙D经过O、B两点，求证：点C在⊙D上；
（2）如图2，若⊙D与OA、AB相切，且m=6，求r；
（3）若r=1.5，且⊙D与△OAB的两边相切，求m的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图1，要证点C在⊙D上，只需证DC=DO，只需证∠COD=∠OCD，由∠BOC=90°及DO=DB，根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）设⊙D与OA、AB分别相切于点E、点F，连接DE、DF、DA，如图2，根据切线的性质可得DE⊥OA，DF⊥AB．然后运用面积法（S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB），就可解决问题；
（3）可分三种情况讨论：①若⊙D与OA、OB分别相切于点E、H，连接DH、DE、OD，如图3①，运用面积法（S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB）就可求出m；②若⊙D与OA、AB分别相切于点E、F，连接DE、DF、AD，如图3②，运用面积法（S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB）就可求出m；③若⊙D与OB、AB分别相切于点H、F，点C作CN⊥AB于N，连接DH、DF，如图3③，根据切线的性质可得DH⊥OB，DF⊥AB，由DH=DF可得BC平分∠ABO，从而可证到Rt△BOC≌Rt△BNC，根据全等三角形的性质可得BN=BO=6，CN=OC=m，从而有AN=4，然后在Rt△CNA中运用勾股定理就可求出m．

解答 解：（1）连接OD，如图1，

∵∠BOC=90°，
∴∠OBD+∠OCB=90°，∠BOD+∠COD=90°．
∵DO=DB，
∴∠OBD=∠BOD，
∴∠COD=∠OCD，
∴DC=DO，
∴点C在⊙D上；

（2）设⊙D与OA、AB分别相切于点E、点F，连接DE、DF、DA，如图2，

则有DE⊥OA，DF⊥AB．
∵A（8，0），B（0，6），C（6，0），
∴OA=8，OB=6，OC=6，
∴AB=10，AC=2．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB，
∴$\frac{1}{2}$×2×6=$\frac{1}{2}$×2r+$\frac{1}{2}$×10×r，
解得r=1；

（3）∵A（8，0），B（0，6），C（m，0），
∴OA=8，OB=6，OC=m，
∴AB=10，AC=8-m．
①若⊙D与OA、OB分别相切于点E、H，连接DH、DE、OD，如图3①，

则有DE⊥OA，DH⊥OB．
∵S_△BOC=S_△ODC+S_△ODB，
∴$\frac{1}{2}$×m×6=$\frac{1}{2}$×m×1.5+$\frac{1}{2}$×6×1.5，
解得m=2；
②若⊙D与OA、AB分别相切于点E、F，连接DE、DF、AD，如图3②，

则有DE⊥OA，DF⊥AB．
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB，
∴$\frac{1}{2}$×（8-m）×6=$\frac{1}{2}$×（8-m）×1.5+$\frac{1}{2}$×10×1.5，
解得m=$\frac{14}{3}$；
③若⊙D与OB、AB分别相切于点H、F，点C作CN⊥AB于N，连接DH、DF，如图3③，

则有DH⊥OB，DF⊥AB，DH=DF，
∴BC平分∠ABO，即∠OBC=∠NBC．
在Rt△BOC和Rt△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBC=∠NBC}\\{∠BOC=∠BNC=90°}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOC≌Rt△BNC，
∴BN=BO=6，CN=OC=m，
∴AN=10-6=4．
在Rt△CNA中，根据勾股定理可得
m²+4²=（8-m）²，
解得m=3．
综上所述：m的值为2、3、$\frac{14}{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键，涉及到高（或垂线段）的长度时，常考虑使用面积法，应熟练掌握．