Question

14．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形△ACD≌△EBD
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是1＜x＜4．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长AD到M，使MD=AD，连接BM，于是得到AM=2AD由已知条件得到BD=CD，根据全等三角形的性质得到BM=CA，∠M=∠CAD，于是得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：在△ADC与△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADC=∠BDE}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB；
故答案为：△ADC≌△EDB；

（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PQ}\\{∠EPD=∠QPF}\\{PD=PF}\end{array}\right.$，
∴△PEP≌△QFP，
∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF-FQ＜QE＜EF+FQ，
即5-3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；
故答案为：1＜x＜4；

（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，
∴AM=2AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BMD与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=AD}\\{∠BDA=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BMD≌△CAD，
∴BM=CA，∠M=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°-（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°-（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ=∠MBA，
∵QC=BC，
∴QC=AB，
在△ACQ与△MBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CA}\\{∠ACQ=∠MBA}\\{QC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△MBA，
∴AQ=AM=2AD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．