Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=1时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）把t=1代入得出CP=2，利用三角形的面积进行解答即可；
（2）过P作PE⊥AB，设CP=2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；
（3）根据AC=CP，利用等腰直角三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）把t=1得出CP=2，所以△ACP的面积=$\frac{1}{2}×2×6=6c{m}^{2}$；
（2）过P作PE⊥AB，如图1：

CP=2t，BP=（8-2t）cm，AE=AC=6cm，PE=CP=2t，BE=10-6=4，
可得：（8-2t）²=（2t）²-4²
解得：t=$\frac{3}{2}s$；
（3）如图2，3，4：

因为△ACP是以AC为腰的等腰三角形，
当AC=CP=6时，t₁=6÷2=3s；
当AC=CP=6时，${t}_{2}=4+\frac{7}{5}=\frac{27}{5}s$；
当AC=AP=6时，${t}_{3}=4+\frac{4}{2}=6$s．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．