Question

19．如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．

（1）求点C、点D的坐标；
（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A-B-D-C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.4个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，①t为何值时，⊙P与y轴相切？
②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.4个单位长速度增加改为多少时就存在．
（3）若线段AB绕点O顺时针旋转180°，线段AB扫过的面积是多少．

Answer 1

分析 （1）求出OB的长得出点C的坐标，求出AD的长即可求出点D的坐标，
（2）①分两种情况讨论：当P在AB上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=3-2t，当P在BD上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=2t-3，再求解即可，
②设⊙P的半径以acm/s的速度增加，当点P在菱形ABCD的对角线交点时，与四边形ABCD都相切，⊙P的半径1+$\frac{9}{4}$a，再求出BD和AC的交点坐标，最后根据若⊙P与四边形ABCD相切，则1+$\frac{9}{4}$a=1.5$\sqrt{3}$，即可得出答案，
（3）过O作OE⊥AB，根据△BOA∽△OEA，求出OE，从而求出S=$\frac{1}{2}$[（3$\sqrt{3}$）²π-（1.5$\sqrt{3}$）²π]，再计算即可．

解答 解（1）∵OB=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标是（6，3$\sqrt{3}$），
∵AD=AB=6，
∴点D的坐标是（3，0），

（2）①当P在AB上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=3-2t，
t=$\frac{4}{5}$，
当P在BD上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.5t=2t-3，
t=$\frac{8}{3}$，
②不存在
设⊙P的半径以acm/s的速度增加，
当点P在菱形ABCD的对角线交点时，到ABCD的距离相等，即与四边形ABCD都相切，
此时t=$\frac{9}{4}$，⊙P的半径1+$\frac{9}{4}$a，
设BD的解析式为：y=kx+b，AC的解析式为：y=ax+c，
解得：BD的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，AC的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
解得；x=$\frac{3}{2}$，
则y=1.5$\sqrt{3}$，
若⊙P与四边形ABCD相切，
则1+$\frac{9}{4}$a=1.5$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{6\sqrt{3}-4}{9}$，
则⊙P的半径以$\frac{6\sqrt{3}-4}{9}$cm/s的速度运动时就存在，

（3）过O作OE⊥AB，
则△BOA∽△OEA，
$\frac{BO}{OE}$=$\frac{BA}{OA}$，
解得；OE=1.5$\sqrt{3}$，
S=$\frac{1}{2}$[（3$\sqrt{3}$）²π-（1.5$\sqrt{3}$）²π]=$\frac{81}{8}$π，
则线段AB扫过的面积是$\frac{81}{8}$π．

点评 此题考查了圆的综合，用到的知识点是菱形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、一次函数，关键是作出辅助线构造相似三角形，注意分类讨论．