Question

已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．BF，CE相交于点O．
（1）求证：∠ACE=∠DBF；
（2）若点B是AC的中点，∠E=60°，AE=4，求△OBC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据垂直的定义，以及已知条件，再根据SAS即可证明△ACE≌△DBF，根据全等三角形对应角相等即可证明∠ACE=∠DBF，
（2）根据特殊角的三角函数值得出BC，同时根据已知角得出△OBC的高，从而得出答案．

解答：（1）证明：∵AB=DC，BC=BC，
∴AC=DB，
∵EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AE=DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
∴∠ACE=∠DBF．

（2）过点O作OM⊥BC，垂足为M，
∵∠E=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴△OBC为等腰三角形，
tan60°=

AC

AE

=

AC

4

=

3

，
∴AC=4

3

，
∵点B是AC的中点，
∴BM=

3

，
∵△OBC为等腰三角形，
∴OM既是高也是中线，
∴BC=2

3

，
在Rt△BOM中，
tan30°=

OM

BM

=

OM

3

=

3

3

，
∴OM=1，
S_△BOC=

1

2

BC•OM=

1

2

×2

3

×1=

3

．

点评：本题主要考查了三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．证明角、边相等常常运三角形全等来证明，难度适中．