Question

已知：如图，点A、B分别在x轴、y轴上，以OA为直径的⊙P交AB于点C(-

2

5

，

4

5

)，E为直径OA上一动点（与点O、A不重合）．EF⊥AB于点F，交y轴于点G．设点E的横坐标为x，△BGF的面积为y．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）如图，过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，则CM=

4

5

，CN=

2

5

，根据已知可以知道OM=CN，然后证明△ACM∽△COM，利用对应边成比例可以求出AM，然后求出A的坐标，再利用待定系数法可以求出直线AB的解析式；
（2）如图依题意得到OE=-x，根据已知可以证明△GEO∽△GBF∽△ABO，然后利用它们对应边成比例，分别表示BF，GF，最后表示△BGF的面积．

解答：解：（1）如图：
过C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，则CM=

4

5

，CN=

2

5

．
根据相交弦定理，得CM²=OM•AM，
∵OM=CN，
∴AM=

8

5

，
∴OA=OM+AM=

2

5

+

8

5

=2．
∴A（-2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A，C两点坐标代入，得

-2k+b=0 - 2 5 k+b= 4 5

，
∴k=

1

2

，b=1，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1；

（2）∵AB的解析式为y=

1

2

x+1，
∴当x=0时，y=1，
∴OB=1，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

1

2

，
而∠BAO+∠ABO=90°，∠FGB+∠FBG=90°，
∴∠BAO=∠FGB，
∴tan∠FGB=

1

2

，
∴sin∠FGB=

2 5

5

，cos∠FGB=

5

5

，而E（x，0），
∴OE=-x，
∴OG=-2x，
∴BG=1-

3

2

x，
∴根据三角函数可知，GF=BG•cos∠FGB，BF=BG•sin∠FGB，
∴y=

1

2

•BF•GF=（1-

3

2

x）²．

点评：把三角函数，待定系数法，相似三角形的性质与判定都结合在一起，综合性比较强．