Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°，BC=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,垂径定理

专题：证明题

分析：（1）根据垂径定理得到弧CD=弧AD，然后根据圆周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，则∠ABC=60°，再根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系．
可得到直径AB的长，则即可得到圆的半径．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC，
∴弧CD=弧AD，
∴∠CBD=∠DBA，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠ABC=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=

3

，
∴AB=2BC=2

3

，
∴⊙O的半径为

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和含30度的直角三角形三边的关系．