Question

已知：正方形ABCD的边长为1，点P为对角线BD上一点，连接CP．
（1）如图1，当BP=BC时，作PE⊥PC，交AB边于E，求BE的长；
（2）如图2，当DP=DC时，作PE⊥PC，交BC边于E，求BE的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠BDC=45°，∠BCP+∠DCP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠BPE+∠BPC=90°，
∵BP=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠BPE=∠DCP，
又BP=BC=DC，
∴△BPE≌△DCP，
∴BE=PD．
∵BC=CD=1，
∴BD=，
又BP=BC=1，
∴BE=PD=BD-BP=；

（2）∵BC=CD=DP=1，
∴BD=，PB=．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠BPE+∠DPC=90°．
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
又∠BCP+∠DCP=90°，
∴∠BPE=∠BCP，
又∠PBE=∠CBP，
∴△BPE∽△BCP，
∴，
∴．
分析：（1）利用正方形的性质和已知条件证明△BPE≌△DCP，得到BE=PD．又因为BE=PD=BD-BP，从而求出BE的长；
（2）由已知条件和正方形的性质判定△BPE∽△BCP，得到关于BP，BC，BE的比例式，进而求出BE的长．
点评：本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形相似的判定和性质，综合性很强，并且有一定的难度．