Question

据气象台预报，一台风中心位于某沿海城市A东偏南θ（cosθ=

2

10

）方向300km的海面B处，正以20km/h的速度向西偏北45°方向移动（如图所示），台风影响的范围为圆形区域，半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．求几小时后该市开始受到台风的影响，受影响的时间是多长？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：建立坐标系，设在时刻：t（h）台风中心B（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市A受到台风的侵袭，则有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．

解答：解：如图：以A为原点，正东方向为x轴正向．
∵cosθ=

2

10

，∴sin（90°-θ）=

2

10

，
cos（90°-θ）=

7 2

10

，
在时刻：t（h）台风中心B（x，y）的坐标为
x=300×

2

10

-20×

2

2

t，y=-300×

7 2

10

+20×

2

2

t
令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′-x）²+（y′-y）²≤[r（t）]²，
其中r（t）=10t+60，
若在t时，该城市受到台风的侵袭，
则有（0-x）²+（0-y）²≤（10t+60）²，
即（300×

2

10

-20×

2

2

t）²+-300×

7 2

10

+20×

2

2

t）²≤（10t+60）²，
即t²-36t+288≤0，
解得12≤t≤24．
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．