Question

【题目】已知：如图，在中，，点是边的中点．以为直径作圆，交边于点，连接，交于点．

求证：是圆的切线；

当时，求证：；

如图，当是圆的切线，为中点，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD⊥BD，即可判定是圆的切线；（2）连接PD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BPD=90°，即可得PD∥AC；已知点D是边BC的中点，可得=BC；再由，可判定△BPD∽△BAC、△PED∽△CEA，根据相似三角形的性质可得，，即可证得；（3）（3）连接OP，可求得，，；根据切线的性质可得．根据由勾股定理求得；在中可，在Rt中，，由此求得．即可求得．

根据三角函数可求得PC，CD的长，再在RT△ADE中利用三角函数求得DE的长，进而得出AD的长．

证明：∵，点是边的中点，

∴．

又∵是圆直径，

∴是圆的切线．

证明：连接，则∠BPD=90°，

∵，

∴，

∵点D是边BC的中点，

∴=BC，

∵，

∴△BPD∽△BAC，△PED∽△CEA，

∴ ，

∴；

连接，

由，得，，，

∵是圆的切线，为圆心，

∴．∴由勾股定理，得，

在中，，

在中，，．

∵为中点，

∴．