Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点，设A（a，0），B（0，b），过A、B及原点O作圆，圆心为M．
（1）若a=5，b=12，求圆心M的坐标；
（2）若a、b是关于x的一元二次方程x²-2x+m+1=0的两个实数根，求圆M的半径r的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题,根的判别式,根与系数的关系,不等式的性质,解一元一次不等式组,垂径定理

专题：综合题

分析：（1）过点M作MD⊥x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，如图1，运用垂径定理就可解决问题．
（2）连接AB，如图2，可得AB是⊙M的直径．由a＞0，b＞0即可得到a+b＞0，ab＞0，然后根据根的判别式及根与系数的关系就可求出m的范围，就可解决问题．

解答：解：（1）过点M作MD⊥x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，如图1．

∵a=5，b=12，
∴OA=5，OB=12．
根据垂径定理可得：OD=AD=

1

2

OA=

5

2

，OE=BE=

1

2

OB=6，
∴圆心M的坐标为（

5

2

，6）．

（2）连接AB，如图2．

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径．
∵点A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点，∴a＞0，b＞0．
∵a、b是关于x的一元二次方程x²-2x+m+1=0的两个实数根，
∴

(-2)2-4(m+1)≥0 a+b=2＞0 ab=m+1＞0

，
解得：-1＜m≤0．
在Rt△AOB中，
∵AB²=OA²+OB²，AB=2r，OA=a，OB=b，
∴（2r）²=a²+b²
=（a+b）²-2ab
=4-2（m+1）
=2-2m．
∵-1＜m≤0，
∴0≤-2m＜2，
∴2≤2-2m＜4，
∴2≤4r²＜4，
∴

1

2

≤r²＜1，
∵r＞0，
∴

2

2

≤r＜1．
∴圆M的半径r的取值范围是

2

2

≤r＜1．

点评：本题主要考查了垂径定理、根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式组、不等式的性质、完全平方公式、勾股定理等知识，有一定的综合性，而运用根的判别式及根与系数的关系是解决第（2）小题的关键．