Question

已知：AC为⊙O₁的直径，BC为⊙O₂直径，点D为

AC

的中点，点E为

BC

的中点，连接DE，M、N分别为线段AB、DE的中点，连接MN．

（1）如图1，当⊙O₁与⊙O₂外切时，猜想MN与DE的位置关系和数量关系．
（2）如图2，当⊙O₁与⊙O₂相交时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当⊙O₁与⊙O₂内切时，已知⊙O₁的半径为6，⊙O₂的半径为2，点P为DA的延长线上一点，求|PN-PM|的最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题,线段的性质：两点之间线段最短,全等三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,相切两圆的性质

专题：综合题

分析：（1）连接MD、ME，如图1，由于点N是DE的中点，要证MN⊥DE，MN=

1

2

DE，只需证MD=ME，∠DME=90°，只需证△MO₁D≌△EO₂M即可解决问题．
（2）连接AD、BE，如图2，易证AD∥BE，由M、N分别为线段AB、DE的中点可得MN∥AD∥BE，MN=

1

2

（BE+AD），只需证到∠ADC=90°，AD=DC，BE=CE即可解决问题．
（3）仿照（1）中的证明思路即可证到MN=

1

2

DE，根据两点之间线段最短可得：当点P、M、N三点共线时，|PN-PM|取到最大值，最大值等于MN的长，只需求出MN的长即可．

解答：解：（1）猜想：MN⊥DE，MN=

1

2

DE．
理由如下：
连接MD、ME，如图1．
∵⊙O₁与⊙O₂外切，
∴O₁O₂=O₁C+O₂C=

1

2

AC+

1

2

BC=

1

2

AB．
∵M为线段AB的中点，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴AM=BM=O₁O₂，
∴AO₁=MO₂，MO₁=BO₂．
∵AO₁=DO₁，BO₂=EO₂，
∴MO₂=DO₁，MO₁=EO₂．
∵点D为

AC

的中点，点E为

BC

的中点，
∴∠AO₁D=∠CO₁D=

1

2

∠AO₁C=90°，
∠BO₂E=∠CO₂E=

1

2

∠BO₂C=90°．
在△MO₁D和△EO₂M中，

O1M=O2E ∠MO1D=∠EO2M O1D=O2M

，
∴△MO₁D≌△EO₂M（SAS），
∴MD=EM，∠O₁MD=∠O₂EM．
∵∠O₂ME+∠O₂EM=90°，
∴∠O₂ME+∠O₁MD=90°，
∴∠DME=90°．
∵MD=EM，∠DME=90°，N为线段DE的中点，
∴MN⊥DE，MN=

1

2

DE．

（2）（1）中的猜想依然成立．
证明：连接AD、BE，如图2．
∵AC为⊙O₁的直径，BC为⊙O₂直径，
∴∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ADC+∠BEC=180°，
∴AD∥BE．
∵M、N分别为线段AB、DE的中点，
∴MN∥AD∥BE，MN=

1

2

（BE+AD），
∴∠MNE=∠ADE=90°，即MN⊥DE．
∵点D为

AC

的中点，点E为

BC

的中点，
∴AD=DC，BE=CE，
∴MN=

1

2

（BE+AD）=

1

2

（CE+DC）=

1

2

DE．

（3）连接EO₂、EM、DO₁、DM，如图3．
∵⊙O₁与⊙O₂内切，
∴O₁O₂=O₁C-O₂C=

1

2

AC-

1

2

BC=

1

2

AB．
∵M为线段AB的中点，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴AM=BM=O₁O₂，
∴AO₁=MO₂，MO₁=BO₂．
∵AO₁=DO₁，BO₂=EO₂，
∴MO₂=DO₁，MO₁=EO₂．
∵点D为

AC

的中点，点E为

BC

的中点，
∴∠AO₁D=∠CO₁D=

1

2

∠AO₁C=90°，
∠BO₂E=∠CO₂E=

1

2

∠BO₂C=90°．
在△MO₁D和△EO₂M中，

O1M=O2E ∠MO1D=∠EO2M O1D=O2M

，
∴△MO₁D≌△EO₂M，
∴MD=EM，∠O₁MD=∠O₂EM．
∵∠O₂ME+∠O₂EM=90°，
∴∠O₂ME+∠O₁MD=90°，
∴∠DME=90°．
∵MD=EM，∠DME=90°，N为线段DE的中点，
∴MN⊥DE，MN=

1

2

DE．
∵⊙O₁的半径为6，⊙O₂的半径为2，
∴AM=O₁O₂=6-2=4，O₂E=O₂C=2，
∴MO₂=AC-AM-CO₂=12-4-2=6，
∴MD=ME=

MO22+O2E2

=

36+4

=2

10

，
∴DE=

MD2+ME2

=

40+40

=4

5

，
∴MN=

1

2

DE=2

5

，
∴|PN-PM|≤MN=2

5

．
根据两点之间线段最短可得：当点P、M、N三点共线时，|PN-PM|取到最大值，最大值为2

5

．

点评：本题考查了弧、弦、圆心角的关系、两圆相切的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、两点之间线段最短、勾股定理等知识，有一定的综合性，而证明△MO₁D≌△EO₂M是解决第（1）小题和第（3）小题的关键．