Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E为AC的中点，EP交BD于F，⊙O的直径为d．下列结论：
①EF⊥BD；②AC²+BD²的值为定值；③OE=

1

2

BD；④AB•CD=2S_{四边形ADBC}
其中正确的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：先利用PE为Rt△APC的斜边上的中线得到PE=CE，则∠ECP=∠EPC，再根据对顶角相等得∠EPC=∠DPF，根据圆周角相等得∠CAP=∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，则可对①进行判断；
作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，由于∠ABC+∠BCD=90°，则∠AOE+∠DOH=90°，然后根据等角的余角相等得到∠EAO=∠DOH，于是可根据“AAS”证明△AOE≌△ODH，得到OE=DH，再根据垂径定理由OH⊥BD得到BH=DH，所以OE=

1

2

BD，则可对③进行判断；
在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE²+OE²=OA²，加上AE=

1

2

AC，OE=

1

2

BD，则AC²+BD²=4OA²，于是可对②进行判断；
利用S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD和三角形面积公式可对④进行判断．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠APC=90°，
∵E为AC的中点，即PE为Rt△APC的斜边上的中线，
∴PE=CE，
∴∠ECP=∠EPC，
而∠EPC=∠DPF，∠CAP=∠CDB，
∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，
∴EF⊥BD，所以①正确；
作PH⊥BD于H，连接OA、OC、OB、OD，如图，
∵E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE=

1

2

∠AOC，∠DOH=

1

2

∠BOD，
∵∠ABC=

1

2

∠AOC，∠BCD=

1

2

∠BOD，
∴∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，
而∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠AOE+∠DOH=90°，
而∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠DOH，
在△AOE和△ODH中，

∠AEO=∠OHD ∠EAO=∠HOD OA=DO

，
∴△AOE≌△ODH（AAS），
∴OE=DH，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH，
∴OE=

1

2

BD，所以③正确；
在Rt△OAE中，∵AE²+OE²=OA²，
而AE=

1

2

AC，OE=

1

2

BD，
∴AC²+BD²=4OA²，
而OA为圆的半径，为定值，
∴AC²+BD²的值为定值，所以②正确；
∵S_{四边形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD
=

1

2

AB•CP+

1

2

AB•DP
=

1

2

AB（PC+DP），
=

1

2

AB•CD，
∴AB•CD=2S_{四边形ADBC}，所以④正确．
故选D．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和直角三角形斜边上的中线性质；会运用勾股定理和三角形面积公式计算；能运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．