Question

【题目】本题满分11分．

如图，已知直线y=-x +3分别与x、y轴交于点A和B．

（1）求点A、B的坐标；

（2）求原点O到直线l的距离；

（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）、B（0，3）（2）（3）M（0，）或 M（0，）

【解析】

（1）根据x轴、y轴上的点的特点可以直接求解；

（2）根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，因此过点O作OC⊥AB于点C，然后根据三角形的面积法可求得距离；

（3）过M作MD⊥AB交AB于点D，然后可通过三角形相似可直接结果，但是由于M点在y轴上移动，因此可知在直线的上方和下方都会相切，因此分两种情况讨论求解．

解：（1）当x=0时，y=3

∴B点坐标（0，3）

当y=0时，有0=-x + 3，

解得x=4

∴A点坐标为（4，0）

（2）过点O作OC⊥AB于点C，

则OC长为原点O到直线l的距离

在Rt△BOA中，0A=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，

∵S△BOA=OB×OA=AB×OC

∴OC==

∴原点O到直线l的距离为

（3）

过M作MD⊥AB交AB于点D，当圆M与直线l相切时，MD=2，

在△BOA和△BDM中，

∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM

∴△BOA∽△BDM

∴=，

∴BM==

∴ OM=OB–BM=

或OM=OB+ BM=

∴点M的坐标为M（0，）或 M（0，）