Question

．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=2，求AF的长．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．

【分析】（1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，再由已知条件和邻补角关系求出∠AFD=∠C，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AD=AB=BC=2，由勾股定理求出AE、DE，再由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出AF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=2，

∵AE⊥BC，E为BC中点，

∴AE⊥AD，BE=BC=1，

∴∠DAE=90°，AE==，

∴DE==，

∵△ADF∽△DEC，

∴，

即，

解得：AF=．

【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．