Question

【题目】综合题

（1）操作发现：
如图①，在正方形ABCD中，过A点有直线AP，点B关于AP的对称点为E，连接DE交AP于点F，当∠BAP=20°时，则∠AFD=°；当∠BAP=α°（0＜α＜45°）时，则∠AFD=；猜想线段DF，EF，AF之间的数量关系：DF﹣EF=AF（填系数）；
（2）数学思考：
如图②，若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=120°”，其他条件不变，则∠AFD=；线段DF，EF，AF之间的数量关系是否发生改变，若发生改变，请写出数量关系并说明理由；
（3）类比探究：
如图③，若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中，∠BAD=α°”，其他条件不变，则∠AFD=°；请直接写出线段DF，EF，AF之间的数量关系： ．

Answer 1

【答案】
（1）45,,45
（2）30
（3）解：（90﹣ ）,DF﹣EF=2sin αAF
【解析】【解析】解：（1）如图①中，连接BF、作AH⊥AF交DE于H．

当∠PAB=20°时，

∵∠PAB=∠PAE=20°，∠BAD=90°，

∴∠EAD=130°，

∵AB=AE=AD，

∴∠E= （180°﹣130°）=25°，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°，

当∠PAB=α时，∠E= [180°﹣（90°+2α）]=45°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=45°﹣α+α=45°，

∵∠AFH=45°，∠FAH=90°，

∴AF=AH，

∵∠FAH=∠BAD=90°，

∴∠FAB=∠HAD，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH，

∵EF=BF，

∴DH=EF，

∴DF﹣EF=FH= AF，

所以答案是45，45， ．

⑵如图②中，连接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．

设∠PAB=α，

则∠E= [180°﹣（120°+2α）=30°﹣α，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=30°，

∵∠EAH=∠BAD=120°，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=30°，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFcos30°，

∴FH= AF，

∴DF﹣EF= AF，

所以答案是30，改变，DF﹣EF= AF

⑶如图③中，当∠BAD=α时，设∠PAB=∠PAE=x，连接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．

则∠E= [180°﹣（α+2x）=90°﹣ α﹣x，

∴∠AFD=∠E+∠PAE=90°﹣ α，

∵∠EAH=∠BAD=α，

∴∠FAB=∠HAD，

∵∠AFH=∠AHF=90°﹣ α，

∴AF=AH，∵AB=AD，

∴△FAB≌△HAD，

∴BF=DH=EF，

∴DF﹣AF=DF﹣DH=FH，

∴AM⊥FH，AF=AH，

∴FM=MH=AFsin α，

∴FH=2sin αAF，

∴DF﹣EF=2sin αAF．

所以答案是（90﹣ img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/02/24/01/d9b95732/SYS201802240151098887506597_DA/SYS201802240151098887506597_DA.002.png" width="9" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ），DF﹣EF=2sin αAF．
（1）如图①中，连接BF、作AH⊥AF交DE于H．根据∠AFD=∠E+∠PAE=45°求出∠E即可解决问题；只需要证明△FAB≌△HAD，就可得出结论DF﹣EF=FH= AF解决问题；（2）如图②中，结论：30°，改变，DF﹣EF= AF，连接BF、作∠FAH=120°交DE于H，AM⊥DE于M．只需要证明△FAB≌△HAD，FH= AF即可；（3）结论（90﹣ ），DF﹣EF=2sin αAF．如图③中，当∠BAD=α时，设∠PAB=∠PAE=x，连接BF、作∠FAH=α交DE于H，AM⊥DE于M．证明方法类似。

【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的性质(菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半)，还要掌握正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)的相关知识才是答题的关键．