Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，C是⊙O上一点，D是 的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连接AD．

（1）求证：AF⊥EF；
（2）填空：
①当BE=时，点C是AF的中点；
②当BE=时，四边形OBDC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，BD，BC，

∵ED为⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∵D是 的中点，

∴OD⊥BC，

∴EF∥BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠AFE=90°，

∴AF⊥EF；

（2）6,3
【解析】（2）①当BE=6时，

解：由（1）知，BC∥EF，当AB=BE时，AC=CF，

∴当BE=6时，点C是AF的中点，

所以答案是：6；

②当BE=3时，

解：∵AB是⊙O的直径，AB=6，

∴OB=OD=OC=BE=3，

∵ED为⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∴BD=OB=BE，

∵D是 的中点，

∴CD=BD，

∴CD=BD=BO=OD，

四边形OBDC是菱形．

所以答案是：3．

【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的判定方法(任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形)，还要掌握垂径定理的推论(推论1：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧B、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧C、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等)的相关知识才是答题的关键．