【题目】如图,为了测量某建筑物BC的高度,小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处,此时遇到一斜坡,坡度i=1: ,沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°,(坡度i=1: 是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比).请你计算出该建筑物BC的高度.(取 =1.732,结果精确到0.1m).
【答案】解:过E作EF⊥AB于F,EG⊥BC与G,
∵CB⊥AB,
∴四边形EFBG是矩形,
∴EG=FB,EF=BG,
设CG=x米,
∵∠CEG=45°,
∴FB=EG=CG=x,
∵DE的坡度i=1: ,
∴∠EDF=30°,
∵DE=20,
∴DF=20cos30°=10 ,BG=EF=20sin30°=10,
∴AB=50+10 +x,BC=x+10,
在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,
∴BC=ABtan∠A,
即x+10= (50+10 +x),
解得:x≈68.3,
∴BC=68.3米,
答:建筑物BC的高度是78.3米.
【解析】已知DE得坡度及在E处测得建筑物顶部的仰角是45°,因此添加辅助线,将要解决的问题转化到直角三角形中求解。过E作EF⊥AB于F,EG⊥BC与G,易证四边形EFBG是矩形,在Rt△DEF,Rt△CEG中分别求出DF、BG、EF的长,再在Rt△ABC中利用解直角三角形求出BC的长。
【考点精析】认真审题,首先需要了解解直角三角形(解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)),还要掌握关于坡度坡角问题(坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比).用字母i表示,即i=h/l.把坡面与水平面的夹角记作A(叫做坡角),那么i=h/l=tanA)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】综合题
(1)操作发现:
如图①,在正方形ABCD中,过A点有直线AP,点B关于AP的对称点为E,连接DE交AP于点F,当∠BAP=20°时,则∠AFD=°;当∠BAP=α°(0<α<45°)时,则∠AFD=;猜想线段DF,EF,AF之间的数量关系:DF﹣EF=AF(填系数);
(2)数学思考:
如图②,若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中,∠BAD=120°”,其他条件不变,则∠AFD=;线段DF,EF,AF之间的数量关系是否发生改变,若发生改变,请写出数量关系并说明理由;
(3)类比探究:
如图③,若将“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中,∠BAD=α°”,其他条件不变,则∠AFD=°;请直接写出线段DF,EF,AF之间的数量关系: .
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【题目】某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克,大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元.大樱桃售价为每千克40元,小樱桃售价为每千克16元.
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元?销售完后,该水果商共赚了多少元钱?
(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克,进价不变,但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变,要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%,大樱桃的售价最少应为多少?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为矩形,OA在x轴正半轴上,OC在y轴正半轴上,且A(10,0)、C(0,8)
(1)如图1,在矩形OABC的边AB上取一点E,连接OE,将△AOE沿OE折叠,使点A恰好落在BC边上的F处,求AE的长;
(2)将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN(其它边保持不变),M、N分别在边OA、CB上且满足CN=OM=OC=MN.如图2,P、Q分别为OM、MN上一点.若∠PCQ=45°,求证:PQ=OP+NQ;
(3)如图3,S、G、R、H分别为OC、OM、MN、NC上一点,SR、HG交于点D.若∠SDG=135°,HG=4,求RS的长.
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【题目】如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【题目】(1)尺规作图:如图,过A点作直线l的垂线AB,垂足为B点(保留作图痕迹);
(2)根据作图的方法,结合图形,写出已知,并证明.
已知:如图, .
求证: AB⊥l.
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【题目】如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置;
(2)若A点的坐标为(0,4),D点的坐标为(7,0),试验证点D是否在经过点A,B,C的抛物线上;
(3)在(2)的条件下,求证:直线CD是⊙M的切线.
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