Question

【题目】如图，为轴正半轴上一动点，，，且、满足，.

（1）求的面积；

（2）若，、为线段上的动点，作交于，FP平分∠GFC，FN平分∠AFP交x轴于N，记∠FNB=，求∠BAC（用表示）；

（3）若，轴于，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点向点运动，到停止运动，、的速度分别为2个单位/秒、3个单位/秒，当时，求运动的时间.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）由二次根式和绝对值的非负性可得a、b的值，即可知OA、OB的长，继而可得三角形的面积；
（2）设∠PFC=x、∠AFN=y，由角平分线的定义知∠AFN=∠PFN=y、∠CFP=∠GFP=x，∠AFP=2y、∠GFC=2x，根据∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB列出关于x、y的方程组，解之求得x，从而得出∠GFC度数，继而由平行线的性质可得答案；

（3）过作于，利用面积法求出OG=，设运动时间为秒，由题意可得，，，根据三角形的面积公式列式表示 和，由已知可得关于t的方程，解方程即可求解．

解：（1）∵，
∴a-6=0且b+8=0，
解得：a=6、b=-8，
∴OA=6、OB=8，
则S△AOB=×OA×OB=×6×8=24；

（2）设∠PFC=x、∠AFN=y，
∵FP平分∠GFC，FN平分∠AFP，
∴∠AFN=∠PFN=y、∠CFP=∠GFP=x，∠AFP=2y、∠GFC=2x，
由∠AFP+∠GFC=180°+∠GFP、∠FNB=∠NFP+∠PFC+∠ACB知，
，
整理，得： ，
解得： ，
则∠GFC=2x=4α-600，
∵GF∥AB，
∴∠BAC=∠GFC=4α-600；

（3）过作于，则，设运动时间为秒，

由题意得，，，，

∴，，

∵，

∴，

∴或，

∴或.

故答案为：（1）；（2）；（3）或.