Question

【题目】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集

（1）探究|x﹣1|的几何意义

如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，有绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为

|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．

（2）求方程|x﹣1|=2的解

因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1．

（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集

因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．请写出这个解集：_________________________________．

探究二：探究的几何意义

（1）探究的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，则，因此，的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．

（2）探究的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），因为AB=A′O，所以，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．

（3）探究的几何意义，根据探究二（2）所得的结论，请写出的几何意义可以理解为：________________．

（4）的几何意义可以理解为：________________________________．

Answer 1

【答案】探究一（3）；探究二（3）点A（x，y）与点B（-3，4）之间的距离AB；（4）点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离．

【解析】

探究一（3）由于|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围，从而画出数轴即可；

探究二（3）由于的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB，所以可以得到的几何意义是：点A（x，y）与点B（-3，4）之间的距离AB；

（4）由前面的探究可知的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离．

解：探究一：（3）如图所示，

的解集是；

探究二：（3）如图，

在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y﹣4），

由探究二（1）可知，，

将线段A′O先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到线段AB，

此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（-3，4），

∵AB=A′O，

∴，．

∴的几何意义是：点A（x，y）与点B（-3，4）之间的距离AB；

（4）根据前面的探究可知的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离．