【题目】如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,且.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)判断的形状,证明你的结论;
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点,当周长最小时,求点的坐标及的最小周长.
【答案】(1),D;(2)是直角三角形,见解析;(3),.
【解析】
(1)直接将(1,0),代入解析式进而得出答案,再利用配方法求出函数顶点坐标;
(2)分别求出AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,进而利用勾股定理的逆定理得出即可;
(3)利用轴对称最短路线求法得出M点位置,求出直线的解析式,可得M点坐标,然后易求此时△ACM的周长.
解:(1)∵点在抛物线上,
∴,
解得:.
∴抛物线的解析式为,
∵,
∴顶点的坐标为:;
(2)是直角三角形,
证明:当时,
∴,即,
当时,,
解得:,,
∴,
∴,,,
∵,,,
∴,
∴是直角三角形;
(3)如图所示:BC与对称轴交于点M,连接,
根据轴对称性及两点之间线段最短可知,此时的值最小,即周长最小,
设直线解析式为:,则,
解得:,
故直线的解析式为:,
∵抛物线对称轴为
∴当时,,
∴,
最小周长是:.
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【题目】把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H(如图).试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
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【题目】在中, ,,,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、于点、.
特例
(1)如图1,若,不添加辅助线,图1中所有与相似的三角形为 , ;
操作探究:
(2)将(1)中的从图1的位置开始绕点按逆时针方向旋转,得到,如图2,当射线,分别交边、于点、时,求的值;
拓展延伸:
(3)如图3,中,,,,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、的延长线于点、,则的值为 .(用含、的代数式表示,直接回答即可)
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【题目】如图,四边形ABCD,EFGH都是平行四边形,点O是内的一点,点E、F、G,H分别是OA、OB、OC、OD上的一点,EF //AB,OA= 3OE,若阴影部分的面积为S,则的面积为( )
A.6SB.18SC.24SD.32S
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OC2=OA·OB.
(1)证明:tan∠BAC· tan∠ABC=1;
(2)若点C的坐标为(0,2),tan∠OCB=2,
①求该抛物线的表达式;
②若点D是该抛物线上的一点,且位于直线BC上方,当四边形ABDC的面积最大时,求点D的坐标.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连接BF与直线CD延长线交于点G.求证:BC2=BG·BF.
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【题目】如图,以圆O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是弧上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是
A. (sinα,sinα) B. (cosα,cosα) C. (cosα,sinα) D. (sinα,cosα)
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【题目】如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论: ①=; ②=;③=;④=.其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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