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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+cx轴交于AB两点,与y轴交于点C,且OC2=OA·OB.

(1)证明:tanBAC· tanABC=1;

(2)若点C的坐标为(02)tanOCB=2

①求该抛物线的表达式;

②若点D是该抛物线上的一点,且位于直线BC上方,当四边形ABDC的面积最大时,求点D的坐标.

【答案】1)见解析;(2②D.

【解析】

1)由OC2=OA·OB和∠AOC=COB=90°,可判定△AOC∽△COB,可得∠BAC=OCB ,再根据正切的定义即可得证;

2C点坐标可得OC=2,然后由正切值求出OBOA,即可得到AB的坐标,然后采用待定系数法求函数表达式;

连接AC,过DDFx轴,交直线BC于点E,设出D点坐标,先求出直线BC解析式,再根据DE横坐标相同求出E点纵坐标,然后采用“铅锤法”可表示出△BCD的面积,因为△ABC固定,当△BCD面积最大时,则四边形ABDC面积最大.

解:(1)∵OC2=OA·OB

∵∠AOC=COB=90°

∴△AOC∽△COB

∴∠BAC=OCB

tanBAC=tanOCB=

又∵tanABC=

tan∠BAC· tan∠ABC=1

2∵点C的坐标为(02)tan∠OCB=2

OC=2tan∠OCB==2

OB=2OC=4,则B点坐标为(4,0

又∵OC2=OA·OB

OA=,则A点坐标为(-1,0

A-1,0),B4,0),C (02)代入二次函数表达式得,

,解得

∴二次函数表达式为

如图,连接AC,过DDFx轴,交直线BC于点E

BC直线解析式为,将B4,0),C (02)代入得,

,解得

BC直线解析式为

D点坐标为

E点横坐标为m,代入BC直线可得

E点坐标为

DE=

S四边形ABDC=SABC+SBCD,且SABC为定值,

∴当SBCD取得最大值时,S四边形ABDC取得最大值.

∴当m=2时,△BCD的面积最大值为4,此时S四边形ABDC取得最大值,

x=2时,

∴当四边形ABDC的面积最大时,D的坐标为.

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