Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、B、C三点．
（1）试求A、C的坐标，并求过A、B、C两点的抛物线的解析式及其顶点F的坐标；
（2）试说明△ABC为直角三角形．并指出，在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形？若存在，直接写出P点坐标；
（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x-x轴交于点A，与y轴交于点C
∴点A（-1，0），C（0，-）
∵点A，C都在抛物线上，
，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-，
∵y=x²-x-=（x-1）²-，
∴顶点F（1，-）；
（2）证明：
由（1）可知点A（-1，0），C（0，-），
∴AO=1，OC=-，
∴AC=2，
设y=0，则y=x²-x-=0，解得：x=-1或3，
∴B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴BC===2，
∵AC²+BC²=16，AB²=16，
∴AC²+BC²AB²=16，
∴△ABC为直角三角形；
在抛物线上存在异于点C的点P，使△ABP为直角三角形，
理由如下：根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意，
∴P点的坐标是（2，-）；
（3）延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′F交直线AC于点M，则点M就是所求的点，
∵过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B点在抛物线y=x²-x-，
∴B（3，0），
在Rt△BOC中，tan∠OBC=，∴∠OBC=30°，BC=2，
在Rt△B′BH中，B′H=BB′=2，
BH=B′H=6，∴OH=3，
∴B′（-3，-2），
设直线B′F的解析式为y=kx+b，
，
解得：，
∴y=x-，
联立，
解得：，
∴在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M（，-）．
分析：（1）抛物线解析式中有两个待定系数a，c，根据直线AC解析式求点A、C坐标，代入抛物线解析式即可；
（2）由抛物线的解析式可求出B点的坐标，根据勾股定理计算AC，BC，再由勾股定理的逆定理证AC²+BC²=AB²，即可说明△ABC为直角三角形；分析不难发现，△ABP的直角顶点只可能是P，根据抛物线的对称性，点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意；
（3）由于B，F是定点，BF的长一定，实际上就是求BM+FM最小，找出点B关于直线AC的对称点B'，连接B'F，交AC于点M，点M即为所求，由（2）可知，BC⊥AC，延长BC到B'，使BC=B'C，利用中位线的性质可得B'的坐标，从而可求直线B'F的解析式，再与直线AC的解析式联立，可求M点坐标．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数以及一次函数的解析式、勾股定理以及逆定理的运用、二次函数和一次函数的交点问题、二次函数的图象和坐标轴的交点问题，同时考查了代数几何的综合运用能力，体现数学知识的内在联系和不可分割的特点．