Question

11．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将BD绕点B逆时针旋转30°到BE所在的位置，BE与AD交于点F，分别连接DE、CE．
（1）求证：DE=DF；
（2）求证：AE∥BD；
（3）求tan∠ACE的值．

Answer 1

分析 （1）先根据旋转的性质得∠DBE=30°，BD=BE，求∠BDE=∠BED=75°，则∠EDF=75°-45°=30°，根据三角形的内角和得：∠DFE=75°，所以∠DFE=∠DEF，由等角对等边得结论；
（2）如图所示，作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°角的性质得：EG=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$BD，由正方形的性质得：AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AOGE是平行四边形，则AE∥BD；
（3）证明四边形AOGE是矩形，设EG=x，由勾股定理得：BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，由矩形AOGE可知：∠EAO=90°，计算tan∠ACE的值即可．

解答 证明：（1）∵BD绕点B逆时针旋转30°到BE，
∴∠DBE=30°，BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
在正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠ADB=45°，
∴∠EDF=75°-45°=30°，
在△DEF中，∠DFE=180°-∠EDF-∠FED=180°-30°-75°=75°，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF；

（2）过E作EG⊥BD于点G，
∵∠DBE=30°，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$BD，
在正方形ABCD中，AC、BD是对角线，
∴AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∴EG=OA，且EG∥OA，
∴四边形AOGE是平行四边形，
∵∠AOD=90°，
∴四边形AOGE是矩形，
∴AE∥BD；

（3）设EG=x，则BE=BD=AC=2EG=2x，
Rt△BEG中，BG=$\sqrt{B{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴OG=BG-BO=（$\sqrt{3}$-1）x，
在矩形AOGE中，∠EAO=90°
∴AE=OG=（$\sqrt{3}$-1）x，
∴tan∠ACE=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了正方形的性质、等腰三角形的性质和判定、矩形和平行四边形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质是关键．