Question

6．如图所示，直线PD为△ABC一边BC的垂直平分线，点D为垂足，连接CP并延长CP交边AB于点F，射线BP交边AC于点E．
（1）若∠A=∠BPF，求证：BF=CE；
（2）在（1）的条件下，若∠A=60°，线段PD、PE、PF之间的数量关系为PE+PF=2PD；
（3）在（2）的条件下，若BC=$8\sqrt{3}$，EF=7，PF＞PE，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）作BG⊥CF于点G，CH⊥BE于点H，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGF≌△CHE，即可证明BF=CE．
（2）首先根据全等三角形的判定方法，判断出△BGP≌△BDP，所以PG=PD；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGP≌△CHP，所以PG=PH；进而判断出PE+PF=2PD即可．
（3）首先根据∠PCD=30°，可得PC=2PD=2CD$÷\sqrt{3}$=BC$÷\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}÷\sqrt{3}$=8，据此求出PE+PF=8；然后在△PEF中，利用余弦定理，求出PE、PF的关系，再根据PF＞PE，求出PF的长是多少；在△PBF中，利用余弦定理，求出BF的长度是多少；最后在△AEF和△ABE中，利用余弦定理，求出AF的长是多少即可．

解答 （1）证明：如图，作BG⊥CF于点G，CH⊥BE于点H，，
∵∠A=∠BPF，
∴∠BFP=∠BEA=∠CEH，
∵直线PD为△ABC一边BC的垂直平分线，
∴PB=PC，∠BPF=∠CPE，
∴BG=CH，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BG=CH}\\{∠BPG=∠CEH}\\{∠BGF=∠CHE}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CHE，
∴BF=CE．

（2）解：∵∠A=60°，∠A=∠BPF，
∴∠BPF=60°，BP=CP，
∴∠PBD=∠PCD=30°，
∴∠GBP=∠PBD=30°，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BP=CP}\\{∠BGP=90°}\\{∠BDP=90°}\end{array}\right.$，
∴△BGP≌△BDP，
∴PG=PD．
∵$\left\{\begin{array}{l}{BG=CH}\\{BP=CP}\\{∠BPG=∠CPH}\end{array}\right.$，
∴△BGP≌△CHP，
∴PG=PH，
∴PE+PF=PE+（PG+GF）=PG+（PE+GF）=PG+（PE+EH）=2PD，
即PE+PF=2PD；

（3）∵∠PCD=30°，
∴PC=2PD=2CD$÷\sqrt{3}$=BC$÷\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}÷\sqrt{3}$=8，
∴PE+PF=8…①，
在△PEF中，
PE²+PF²-2PE•PF•cos120°
=PE²+PF²+PE•PF
=EF²
=7²
=49…②
由①②，可得
PF=5或3，
∵PF＞PE，
∴PF=5，
即PF的长为5．
在△PBF中，
PB²+PF²-2PB•PF•cos60°
=8²+5²-8×5
=49
∴BF=7；
设AF=x，AE=y，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2xy•cos60°{=7}^{2}}\\{{{（x+7）}^{2}{+y}^{2}-2（x+7）y•cos60°=（8+3）}^{2}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5\frac{4}{7}}\\{y=7\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
∴AF=5$\frac{4}{7}$．
故答案为：PE+PF=2PD．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握全等三角形判定的方法．
（2）此题还考查了线段垂直平分线的性质，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．