Question

1．抛物线$y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，连接OA，AB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图①，动点M从点B出发沿折线BA→AO方向以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，同时动点N从点A出发沿折线AO→y轴正方向以相同速度运动，设点M的运动时间为x秒，的那个点M到达点O时，M，N同时停止运动，求△AMN的面积S与x之间的函数关系式；
（3）如图②，动点P从点O出发，以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度沿OB向终点B运动，同时动点Q也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA向终点A运动．设点P运动的时间为t秒，若以P为圆心，PQ长为半径作圆，则在整个运动过程中，t为何值时，⊙P与边AB只有1个公共点？

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点的坐标，以及0A、0B、0C的长度，然后在△AOB中，利用余弦定理，求出cos∠AOB，进而求出∠AOB的度数是多少即可；
（2）根据题意，分两种情况讨论：①当动点M在BA上运动时，动点N在AO上运动；②当动点M在AO上运动时，动点N在OB上运动；然后根据三角形的面积的求法，求出△AMN的面积S与x之间的函数关系式即可；
（3）当⊙P与边AB只有1个公共点时，⊙P与边AB相切与点H，所以PH=PQ，然后分别用t表示出PH、PQ的值是多少，再解方程，求出t为何值时，⊙P与边AB只有1个公共点即可．

解答 解：（1）∵$y=\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$
=$\frac{1}{3}$（${x}^{2}+2\sqrt{3}x+3$）-1
=${\frac{1}{3}（x+\sqrt{3}）}^{2}$-1
∴A（-$\sqrt{3}，1$）；
令y=0，
则x=0或x=-2$\sqrt{3}$，
∴B（-2$\sqrt{3}$，0）；
0A=$\sqrt{{（-\sqrt{3}）}^{2}{+1}^{2}}$=2，OB=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{{（-\sqrt{3}-2\sqrt{3}）}^{2}{+（1-0）}^{2}}$=2，
∵cos∠AOB=$\frac{{2}^{2}{+（2\sqrt{3}）}^{2}{-2}^{2}}{2×2×2\sqrt{3}}$=$\frac{12}{8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOB=30°．

（2）如图①，当动点M在BA上运动时，动点N在AO上运动，，
动点M从点B点A的时间是：
2÷1=2（秒）
0＜x≤2时，
∵0A=AB，
∴∠ABO=∠AOB=30°，
∴∠OAB=180°-30°-30°=120°；
∵AM=AB-MB=2-x，AN=x，
∴S=$\frac{1}{2}x（2-x）sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}x（2-x）$；

如图②，当动点M在AO上运动时，动点N在OB上运动，，
动点M从点A点0的时间是：
2÷1=2（秒）
2＜x≤4时，
∵$\frac{MD}{AE}=\frac{0M}{AO}=\frac{2-（t-2）}{2}=2-0.5t$，
∴MD=2-0.5t，
∵ON=t-2，
∴S=S_△AON-S_△MON
=$\frac{1}{2}（t-2）$$-\frac{1}{2}（t-2）（2-0.5t）$
=（0.5t-1）²
综上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}x（2-x），0＜x≤2}\\{{（0.5t-1）}^{2}，2＜x≤4}\end{array}\right.$．

（3）如图③，，
当⊙P与边AB只有1个公共点时，⊙P与边AB相切与点H，
∴PH=PQ；
∵OQ=t，OP=$\sqrt{3}t$，∠A0B=30°，
∴${PQ}^{2}{=t}^{2}{+（\sqrt{3}t）}^{2}-2t•\sqrt{3}t•cos30°$
=t²，
∴PQ=t，
∵∠AB0=30°，
∴PH=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}（2\sqrt{3}-\sqrt{3}t）$，
∵PH=PQ，
∴$\frac{1}{2}（2\sqrt{3}-\sqrt{3}t）$=t，
解得t=4$\sqrt{3}$-6，
即t=4$\sqrt{3}$-6时，⊙P与边AB只有1个公共点．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．