【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点与x轴交于点C,点B坐标为(m,﹣1),AD⊥x轴,且AD=3,tan∠AOD=
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OB,求S△AOC﹣S△BOC的值;
(3)点E是x轴上一点,且△AOE是等腰三角形请直接写出满足条件的E点的个数(写出个数即可,不必求出E点坐标).
【答案】(1)y=﹣,y=﹣x+2;(2)S△AOC﹣S△BOC=4;(3)满足条件的点P有四个.
【解析】
(1)先根据锐角三角函数求出OD,求出点A坐标,进而求出反比例函数解析式,再求出点B坐标,最后将点A,B坐标代入直线解析式中,即可得出结论;
(2)先求出点C坐标,进而用三角形的面积公式求解即可得出结论;
(3)分三种情况,利用等腰三角形的性质,建立方程求解即可得出结论.
(1)∵AD⊥x轴,
∴∠ADO=90°,
在Rt△ADO中,AD=3,tan∠AOD=,
∴OD=2,
∴A(﹣2,3),
∵点A在反比例函数y=的图象上,
∴n=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣,
∵点B(m,﹣1)在反比例函数y=﹣的图象上,
∴﹣m=﹣6,
∴m=6,
∴B(6,﹣1),
将点A(﹣2,3),B(6,﹣1)代入直线y=kx+b中,得 ,
∴ ,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;
(2)由(1)知,A(﹣2,3),直线AB的解析式为y=﹣x+2,
令y=0,
∴﹣x+2=0,
∴x=4,
∴C(4,0),
∴S△AOC﹣S△BOC=OC|yA|﹣OC|yB|=×4(3﹣1)=4;
(3)设E(m,0),由(1)知,A(﹣2,3),
∴OA2=13,OE2=m2,AE2=(m+2)2+9,
∵△AOE是等腰三角形,
∴①当OA=OE时,
∴13=m2,
p>∴m=±,∴E(﹣,0)或(,0),
②当OA=AE时,13=(m+2)2+9,
∴m=0(舍)或m=4,
∴E(4,0),
③当OE=AE时,m2=(m+2)2+9,
∴m=﹣,
∴E(﹣,0),
即:满足条件的点P有四个.
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【题目】如图,认真观察下面这些算式,并结合你发现的规律,完成下列问题:
(1)请写出:
算式⑤ ;
算式⑥ ;
(2)上述算式的规律可以用文字概括为:“两个连续奇数的平方差能被8整除”,如果设两个连续奇数分别为和 (为整数),请说明这个规律是成立的;
(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢?请说明理由.
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【题目】如图,在ABCD中,AB=20cm,AD=30cm,∠ABC=60°,点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动,速度为2cm/s,同时,点P从点D出发沿DC向点C匀速运动,速度为3cm/s,当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,过点P做PM⊥AD交AD于点M,连接PQ、QM.设运动的时间为ts(0<t≤6).
(1)当PQ⊥PM时,求t的值;
(2)设△PQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使得△PQM的面积是ABCD面积的?若存在,求出相应t的值;若不存在,请说明理由;
(4)过点M作MN∥AB交BC于点N,是否存在某一时刻t,使得P在线段MN的垂直平分线上?若存在,求出相应t的值;若不存在,请说明理由;
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【题目】小明购买A,B两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:
次数 | 购买数量(件 | 购买总费用(元 | |
A | B | ||
第一次 | 2 | 1 | 55 |
第二次 | 1 | 3 | 65 |
根据以上信息解答下列问题:
(1)求A,B两种商品的单价;
(2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F,设BE=x,△ECF的面积为y,下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,抛物线的对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为,其部分图象如图所示.现有下列结论:①;②;③;④当时,随的增大而减小;⑤;⑥.其中正确的结论有( )
A. l个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】综合与探究
如图,抛物线与轴交于、两点,与轴交于点.
(1)求抛物线解析式:
(2)抛物线对称轴上存在一点,连接、,当值最大时,求点H坐标:
(3)若抛物线上存在一点,,当时,求点坐标:
(4)若点M是平分线上的一点,点是平面内一点,若以、、、为顶点的四边形是矩形,请直接写出点坐标.
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【题目】小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序,具体如图所示,则当输入下列点的坐标时,请按程序指令解答.
(1)P1(1,0),P2(﹣3,0).
(2)P1(2,﹣1),P2(4,﹣3)
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,在以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中,将△ABC绕点B顺时针旋转,使点A旋转至y轴正半轴上的A′处,则图中阴影部分面积为_____.
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