Question

如图，有一直线y=

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x+1，将抛物线y=

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x²，沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，抛物线C与Y轴交于点E．与直线交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C的表达式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：根据“左加右减、上加下减”的平移规律先设出抛物线C的表达式，即可得出E点的坐标；点E为抛物线C与y轴的交点，点F为直线AB与抛物线C的交点，也可以理解为点E、F都在抛物线C的图象上，若EF∥x轴，那么点E、F必关于抛物线对称轴对称，首先根据点E的坐标和抛物线对称轴方程表示出点F的坐标，再代入直线AB的解析式中进行求解即可．

解答：解：设抛物线C的解析式为y=

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（x-t）²，则顶点（t，0），E（0，

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t²），
∵EF∥x轴且F在抛物线C上，根据抛物线的对称性可知F（2t，

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t²），
把x=2t，y=

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t²代入y=

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x+1得

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×2t+1=

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t²，
解得t₁=-1，t₂=3，
∴抛物线C的解析式为y=

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（x+1）²或y=

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（x-3）²．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，根据EF与x轴平行得到点E、F的纵坐标相等是解题的关键，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化求解更简便．