Question

已知抛物线C₁：y₁=

1

2

x²-x+1．将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C₂：y₂=

1

2

（x-h）²，若2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：先把y₁=

1

2

x²-x+1配成顶点式，易得抛物线C₂：y₂=

1

2

（x-1）²，再求出抛物线C₂与直线y=x的交点坐标，于是可得到y₂≤x恒成立的m的范围，则可得到m的最大值．

解答：解：y₁=

1

2

x²-x+1=

1

2

（x-1）²+

1

2

，所以将抛物线C₁向下平移

1

2

个单位得抛物线C₂：y₂=

1

2

（x-1）²，
解方程组

y= 1 2 (x-1)2 y=x

得

x=2- 3 y=2- 3

或

x=2+ 3 y=2+ 3

，
所以当2＜x≤m时，y₂≤x恒成立，则m的最大值为2+

3

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．