Question

关于x的二次函数y=kx²+kx+1-k（k≠0）与一次函数的图象交于点A（1，1+k），B（0，1-k）
（1）求一次函数表达式（含有常数k）；
（2）猜测对任意实数k（k≠0），二次函数图象都具有的特征，并说明理由（写两条）；
（3）要使一次函数与二次函数都是y随x的增大而减小，求k满足的条件以及x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得一次函数的表达式．
（2）猜想：不论k取何值，函数y=kx²+kx+1-k（k≠0的图象的对称轴x=-

1

2

，必过定点（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．由对称轴方程公式得x=-

1

2

，由解析式变形，得y=k（x²+x-1）+1，可知当x²+x-1=0，即x=

-1+ 5

2

或

-1- 5

2

时，函数值与k的取值无关，此时y=1，可得定点坐标；
（3）根据一次函数和二次函数的性质即可得出一次函数与二次函数都是y随x的增大而减小时，k满足的条件以及x的取值范围．

解答： 解：（1）设直线的解析式为y=ax+b，
∵一次函数的图象经过点A（1，1+k），B（0，1-k），
∴

1+k=a+b b=1-k

，解得

a=2k b=1-k

，
∴一次函数表达式为y=2k+1-k．
（2）不论k取何值，函数y=kx²+kx+1-k（k≠0的图象的对称轴x=-

1

2

，必过定点（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．
证明如下：
将x=

-1± 5

2

时代入函数中解出y=1．
所以函数的图象必过定点（

-1+ 5

2

，1），（

-1- 5

2

，1）．
对称轴x=-

b

2a

=-

k

2k

=-

1

2

．
所以不论k取何值，函数y=kx²+kx+1-k（k≠0的图象的对称轴是定值．
（3）由直线y=2k+1-k可知当k＜0时，y随x的增大而减小，对于二次函数y=kx²+kx+1-k（k≠0）的图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵函数y=kx²+kx+1-k（k≠0的图象的对称轴x=-

1

2

，
∴当k＜0，且x＞-

1

2

时一次函数与二次函数都是y随x的增大而减小．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、二次函数的增减性等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．