Question

8．对于函数y=xⁿ+x^m，我们定义y'=nx^n-1+mx^m-1（m、n为常数）．
例如y=x⁴+x²，则y'=4x³+2x．
已知：y=$\frac{1}{3}$x³+（m-1）x²+m²x．
（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为$\frac{1}{2}$；
（2）若方程y′=m-$\frac{1}{4}$有两个正数根，则m的取值范围为$m≤\frac{3}{4}$且$m≠\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据新定义得到y′=$\frac{1}{3}$x³+（m-1）x²+m²=x²+2（m-1）x+m²，
（1）由判别式等于0，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．

解答 解：根据题意得y′=x²+2（m-1）x+m²，
（1）∵方程x²-2（m-1）x+m²=0有两个相等实数根，
∴△=[-2（m-1）]²-4m²=0，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$；
（2）y′=m-$\frac{1}{4}$，即x²+2（m-1）x+m²=m-$\frac{1}{4}$，
化简得：x²+2（m-1）x+m²-m+$\frac{1}{4}$=0，
∵方程有两个正数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（m-1）＜0}\\{{m}^{2}-m+\frac{1}{4}＞0}\\{（-2（m-1）]^{2}-4（{m}^{2}-m+\frac{1}{4}）≥0}\end{array}\right.$，
解得：$m≤\frac{3}{4}$且$m≠\frac{1}{2}$．
故答案为：$m≤\frac{3}{4}$且$m≠\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．