Question

15．吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C₁处；
（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C₁处．

Answer 1

分析 （1）将正方体展开，连接AC₁，即可求得最短路径的长；
（2）将长方体展开，得到两个结果，取其值最小者；

解答 解：（1）如图，AC₁=$\sqrt{{D}_{1}{A}^{2}+{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5 $\sqrt{5}$cm．

∴一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C₁处，最短路程的长为5$\sqrt{5}$cm．

（2）分两种情况：
①如图，AC₁=$\sqrt{（5+5）^{2}+{6}^{2}}$=2 $\sqrt{34}$；

②如图，AC₁=$\sqrt{（6+5）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{146}$．
，
因为 $\sqrt{146}$＞2 $\sqrt{34}$，
所以最短路程为2 $\sqrt{34}$cm．

点评 此题考查了平面展开---最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．