Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F，BD交AE于M．

（1）求证：△AEC≌△ADB；

（2）若BC=2，∠BAC=30°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到△ABC≌△ADE，，然后根据全等三角形的性质求出AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，最后可根据“SAS”证得结论；

（2）过点B作BM⊥EC于点M，然后根据菱形的性质可得AC∥DF，再根据平行线的性质得到∠DBA=∠BAC=45°，从而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理可求BD，最后根据线段的计算求解得到BF的长.

试题解析：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）过点B作BM⊥EC于点M，∵∠BAC=30°AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=75°.

∵当四边形ADFC是菱形时，AC∥DF,

∴∠FBA=∠BAC=30°,

∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=30°,

∴∠ACE=∠ADB=30°,∴∠FCB=45°.

∵BM⊥EC，∴∠MBC=45°,

∴BM=MC=BCsin45°=×2=,

∵∠ABC＝75°,∠ABD＝30°,∠FCB=45°

∴∠BFC＝180°-75°-45°-30°=30°,

∴BF=2BM=2.