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【题目】综合与探究:

如图,抛物线y=x2x﹣4x轴交与AB两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点Px轴上的一个动点,设点P的坐标为(m0),过点Px轴的垂线l交抛物线于点Q

1)求点ABC的坐标.

2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BDBC于点MN.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由.

3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使BDQ为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题.

【答案】

【解析】

试题分析:1)根据坐标轴上点的特点,可求点ABC的坐标.

2)由菱形的对称性可知,点D的坐标,根据待定系数法可求直线BD的解析式,根据平行四边形的性质可得关于m的方程,求得m的值;再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状;

3)分DQBDBQBD两种情况讨论可求点Q的坐标.

解:(1)当y=0时,x2x﹣4=0,解得x1=﹣2x2=8

B在点A的右侧,

A的坐标为(﹣20),点B的坐标为(80).

x=0时,y=﹣4

C的坐标为(0﹣4).

2)由菱形的对称性可知,点D的坐标为(04).

设直线BD的解析式为y=kx+b,则

解得k=﹣b=4

直线BD的解析式为y=﹣x+4

lx轴,

M的坐标为(mm+4),点Q的坐标为(mm2m﹣4).

如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形,

m+4m2m﹣4=4﹣﹣4).

化简得:m2﹣4m=0

解得m1=0(不合题意舍去),m2=4

m=4时,四边形CQMD是平行四边形.

此时,四边形CQBM是平行四边形.

解法一:m=4

POB的中点.

lx轴,

ly轴,

∴△BPM∽△BOD

==

BM=DM

四边形CQMD是平行四边形,

DMCQ

BMCQ

四边形CQBM是平行四边形.

解法二:设直线BC的解析式为y=k1x+b1,则

解得k1=b1=﹣4

故直线BC的解析式为y=x﹣4

lx轴交BC于点N

x=4时,y=﹣2

N的坐标为(4﹣2),

由上面可知,点M的坐标为(42),点Q的坐标为(4﹣6).

MN=2﹣﹣2=4NQ=﹣2﹣﹣6=4

MN=QN

四边形CQMD是平行四边形,

DBCQ

∴∠3=4

BMNCQN中,

∴△BMN≌△CQNASA

BN=CN

四边形CQBM是平行四边形.

3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q1﹣20),Q26﹣4).

BDQ为直角三角形,可能有三种情形,如答图2所示:

以点Q为直角顶点.

此时以BD为直径作圆,圆与抛物线的交点,即为所求之Q点.

P在线段EB上运动,

﹣8≤xQ≤8,而由图形可见,在此范围内,圆与抛物线并无交点,

故此种情形不存在.

以点D为直角顶点.

连接ADOA=2OD=4OB=8AB=10

由勾股定理得:AD=BD=

AD2+BD2=AB2

∴△ABD为直角三角形,即点A为所求的点Q

Q1﹣20);

以点B为直角顶点.

如图,设Q2点坐标为(xy),过点Q2Q2Kx轴于点K,则Q2K=﹣yOK=xBK=8﹣x

易证Q2KB∽△BOD

,即,整理得:y=2x﹣16

Q在抛物线上,y=x2x﹣4

x2x﹣4=2x﹣16,解得x=6x=8

x=8时,点Q2与点B重合,故舍去;

x=6时,y=﹣4

Q26﹣4).

综上所述,符合题意的点Q的坐标为(﹣20)或(6﹣4).

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