Question

1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；
（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．

解答 解：
（1）如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，

∵△AOB为等腰三角形，
∴AO=BO，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，
∴∠AOC=∠OBD，
在△ACO和△ODB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠OBD}\\{∠ACO=∠ODB}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∵A（2，1），
∴OD=AC=1，BD=OC=2，
∴B（-1，2）；
（2）∵抛物线过O点，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=1}\\{a-b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{7}{6}}\end{array}\right.$，
∴经过A、B、O原点的抛物线解析式为y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{7}{6}$x；
（3）∵四边形ABOP，
∴可知点P在线段OA的下方，
过P作PE∥y轴交AO于点E，如图2，

设直线AO解析式为y=kx，
∵A（2，1），
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线AO解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
设P点坐标为（t，$\frac{5}{6}$t²-$\frac{7}{6}$t），则E（t，$\frac{1}{2}$t），
∴PE=$\frac{1}{2}$t-（$\frac{5}{6}$t²-$\frac{7}{6}$t）=-$\frac{5}{6}$t²+$\frac{5}{3}$t=-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$PE×2=PE═-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$，
由A（2，1）可求得OA=OB=$\sqrt{5}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AO•BO=$\frac{5}{2}$，
∴S_{四边形ABOP}=S_△AOB+S_△AOP=-$\frac{5}{6}$（t-1）²+$\frac{5}{6}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{10}{3}$，
∵-$\frac{5}{6}$＜0，
∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-$\frac{1}{3}$），
综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．