Question

13．已知一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形AOBC（O是原点）的一组对边平行，且AC=5．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）如果一个一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象经过点A、C，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据梯形的对边平行，分为AC∥OB，BC∥OA两种情况，画出图形，结合勾股定理求解；
（3）根据C点坐标，一次函数y=kx+b中k＜0的条件，确定C的坐标，求一次函数解析式．

解答 解：（1）∵一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+4中，当x=0时，y=4；当y=0时，x=8，
∴A（8，0），B（0，4）；

（2）∵四边形AOBC（O是原点）的一组对边平行，
∴四边形AOBC是梯形，
在梯形AOBC中，OA=8，OB=4，AC=5，
当AC∥OB时（如图1），点C的坐标为（8，5），
当BC∥OA时（如图2），设点C（x，4）．
∵AC=5，
∴（x-8）²+（4-0）²=5²，
∴x₁=5，x₂=11，
这时点C的坐标为（5，4）或（11，4），
∴点C的坐标为（8，5）或（5，4）或（11，4）；

（3）∵点A、C在一次函数y=kx+b（k＜0）的图象上，
∴点（8，5）与（11，4）都不符合题意，只有当C为（5，4）时，k＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=8k+b}\\{4=5k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，
∴这个一次函数的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了一次函数的综合运用，根据组成梯形的字母顺序，按照梯形的底边，需要分类讨论求C点坐标，进而得到一次函数解析式．