Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标是M（1，2），并且经过点C（0，3），抛物线与直线x=2交于点P，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在直线上取点A（2，5），求△PAM的面积；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QAM的面积与△PAM的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的函数解析式y=a（x-1）²+2．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）²+2中，得a=1，
∴函数解析式y=（x-1）²+2．

（2）把x=2代入y=（x-1）²+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S_△PAM=×AP•MF，
=×2×1=1

（3）由A（2，5），M（1，2）得到直线AM函数解析式y=3x-1．
①当点Q落在直线AM的下方时，过P作直线PD∥AM，交y轴于点D，
直线PD的函数解析式为y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函数解析式为y=3x-3．
∴得Q（3，6）．
∴此时抛物线上存在点Q（3，6），使△QMA与△APM的面积相等．
②P关于点A的对称点的坐标是H（2，7）
当点Q落在直线AM的上方时，过H作直线HE∥AM，交y轴于点E，
直线HE的函数解析式为y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函数解析式为y=3x+1．
∴
得Q或．
综上所述，抛物线上存在点Q（3，6）或Q或使△QMA与△APM的面积相等．
分析：（1）题可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）题抛物线与直线x=2交于点P，直接将两式联立可以求出；
（3）题存在两种情况Q点在AM的上方或下方分别分析，可以求出．
点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式，以及一次函数与二次函数综合应用，三角形同底等高面积相等，综合性比较强．