Question

14．已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C．

（1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；
（2）如图2，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他条件不改变，问：（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论．

Answer 1

分析 （1）利用外角的性质和三角形的内角和定理可得∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，由角平分线的性质得∠CAB+∠CBA，由内角和定理得∠ACB；
（2）如图1，由角平分线的性质易得∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAN，∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABM，由三角形外角和定理易得∠2+∠4，得∠ACB；
（3）如图2，同（2）可得结论．

解答 解：（1）∵∠MON=90°，∠NAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，
∴∠NAB+∠MBA=90°+∠ABO+90°+∠BAO=90°+180°=270°，
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴∠CAB+∠CBA=$\frac{1}{2}×270°$=135°，
∴∠ACB=45°；

（2）∠ACB的度数不改变
如图1，∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAN，∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∵∠BAN=∠O+∠6，∠ABM=∠O+∠5，
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$（∠BAN+∠ABM）=$\frac{1}{2}$（∠O+∠5+∠O+∠6）=90°+$\frac{1}{2}$∠O，
∴∠ACB=180°-（∠2+∠4）=90°-$\frac{1}{2}$∠O=90°-$\frac{1}{2}$α；

（3）∠ACB的度数不改变，
如图2，∵∠2=∠ACB+∠3，∠NAB=α+∠3+∠4，AD平分∠BAN，BC平分∠ABO，
∴∠NAB=2∠2，
∴2∠2=α+2∠3，
∴∠2=$\frac{1}{2}α$+∠3，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$α．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，外角性质和三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．