Question

5．如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=$\frac{3}{4}$，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．
请根据上述对话，帮他们解答这个问题．

Answer 1

分析 （1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．
（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．

解答 解：（1）当AP=12时，AP•PQ=36，
∴PQ=3，
又∵在Rt△BPQ中，tanB=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{3}{4}$，
∴PB=4．
∴AB=16．

（2）若AP=x，则PB=16-x，PQ=$\frac{3}{4}$（16-x），
∴y=$\frac{3}{4}$（16-x）x，
整理得y=-$\frac{3}{4}$（x-8）²+48．
∴当x=8时，y_最大值=48．

点评 本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键．