Question

10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BD上的一点，连接EA，将EA绕点E逆时针旋转90°得线段EF，连接FB．
（1）如图a，点E在OB上，
①求∠FEB+∠BAE的度数；
②求证：ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）如图b，当E在OD上时，按已知条件补全图形，直接写出ED、EB、BF三条线段的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据已知条件易证得∠BAE=∠F，根据三角形外角的性质得出∠F+∠FEB=∠OBC=45°，即可求得∠FEB+∠BAE=45°；②在OA上截取OH=OE，连接EH，四边形ABCD是正方形，求得∠OHE=∠OEH=45°，由∠AEF=90°，得出∠FEB+∠AEH=45°，即可求得AEH=∠F，根据∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠EAH=90°得到∠FEB=∠EAH，然后根据ASA证得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根据等腰直角三角形的性质求得$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，因为ED-EB=OD+OE-（OB-OE）=2OE，即可证得ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）在OC上截取OH=OE，连接EH，得出AH=BE，根据AC⊥BD，∠AEF=90°，得出∠EAH=∠FEB，根据SAS证得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根据等腰直角三角形的性质求得$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，因为EB-ED=2OE，即可证得EB-ED=$\sqrt{2}$BF．

解答 解：（1）①如图a，∵∠AEF=90°，∠ABF=90°，∠1=∠2，
∴∠BAE=∠F，
∵∠F+∠FEB=∠OBC=45°
∴∠FEB+∠BAE=45°；
②在OA上截取OH=OE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴∠OHE=∠OEH=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEH=45°，
∴∠AEH=∠F，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°，
∵∠AEO+∠EAH=90°，
∴∠FEB=∠EAH，
在△FEB和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEH}\\{EF=AE}\\{∠FEB=∠EAH}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△EAH（ASA），
∴BF=EH，
在等腰直角三角形EOH中，$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∵ED-EB=OD+OE-（OB-OE）=2OE，
∴ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）ED、EB、BF三条线段的数量关系为：EB-ED=$\sqrt{2}$BF，
在OC上截取OH=OE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，
∴OA+OH=OB+OE，即AH=BE，
∵AC⊥BD，∠AEF=90°，
∴∠EAH=∠FEB，
在△FEB和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AE}\\{∠FEB=∠EAH}\\{BE=AH}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△EAH（SAS），
∴BF=EH，
在等腰直角三角形EOH中，$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∵BE-DE=2OE，
∴EB-ED=$\sqrt{2}$BF．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．