Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点B在x轴的负半轴上，且∠AB0=30°，抛物线经过A，O，B三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
在Rt△ABF中，∠AB0=30⁰，A的坐标为（1，），
∴OF=1，AF=，BF=3．
∴BO=BF-OF=2． B（-2，O）．
设抛物线的解析式为y=ax（x+2）．将点A（l，）代入，得a=，
∴抛物线的解析式为y=x²+x，对称轴为直线x=-1，
（2）存在点C 设抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．，
∵点B（一2，O）和点O（0，O）关于抛物线的对称轴对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小．
∵△BCE∽△BAF，
∴，
∴CE==，
∴C点的坐标是（-1，）；
（3）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2：3，
理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+，
如图连接AO，设P（m，n），
则D（m，m+），n=m²+m，
S_{四边形BPOD}=BO•DP=×2（m+-n）=-m²-m+，
S_△BOD=×2×（m+）=m+，
S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=×2-m+=-m+，
①要使三角形AOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-m²-m+）=3（-m+），
∴2m²-m-1=0，解得：m=-或1（舍），
∴P（-，-）；
②要使三角形BOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-m²-m+）=3（m+），
∴2m²+5m+1=0，解得：m=-或-2，
∴P（-，-）或P（-2，0）（不符合题意），
∴存在点P满足要求，起坐标为P（-，-）．
分析：（1）根据抛物线经过点A，O，B，运用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式；
（2）过点A作x轴的垂线与x轴的交点是C，作CA⊥AB于A，交x轴于点C，这就是满足条件的C，利用解直接三角形就可以求出C点的坐标；
（3）由A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，设出点P的坐标，就可以表示出E的坐标，利用面积之比建立等量关系根据两种不同的情况就可以求出P的解析式．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，题目的综合性很强，对学生的解题的能力要求很高．