Question

【题目】已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．
（1）若E在边AC上． ①试说明DE=DF；
②试说明CG=GH；
（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：①连接CD，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，

∴CD=AD=BD，

又∵AC=BC，

∴CD⊥AB，

∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF，

∴DE=DF．

②连接DG，

∵∠ACB=90°，G为EF的中点，

∴CG=EG=FG，

∵∠EDF=90°，G为EF的中点，

∴DG=EG=FG，

∴CG=DG，

∴∠GCD=∠CDG

又∵CD⊥AB，

∴∠CDH=90°，

∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，

∴∠GHD=∠HDG，

∴GH=GD，

∴CG=GH．

（2）解：如图，当E在线段AC上时，

∵CG=GH=EG=GF，

∴CH=EF=5，

∵△ADE≌△CDF，

∴AE=CF=3，

∴在Rt△ECF中，由勾股定理得： ，

∴AC=AE+EC=3+4=7；

如图，当E在线段CA延长线时，

AC=EC﹣AE=4﹣3=1，

综合上述AC=7或1．

【解析】（1）①连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF即可；②连接DG，根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；（2）求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．