【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
【答案】
(1)证明:∵AD∥BC(已知),
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行,内错角相等),
∵E是CD的中点(已知),
∴DE=EC(中点的定义).
∵在△ADE与△FCE中,
,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴FC=AD(全等三角形的性质)
(2)证明:∵△ADE≌△FCE,
∴AE=EF,AD=CF(全等三角形的对应边相等),
∴BE是线段AF的垂直平分线,
∴AB=BF=BC+CF,
∵AD=CF(已证),
∴AB=BC+AD(等量代换)
【解析】(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答.(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可.
【考点精析】利用线段垂直平分线的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线;线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
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【题目】某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业,C船突然出现故障,向A、B两船发出紧急求救信号,此时B船位于A船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A船的北偏东33°方向,同时又位于B船的北偏东78°方向.
(1)求∠ABC的度数;
(2)A船以每小时30海里的速度前去救援,问多长时间能到出事地点.(结果精确到0.01小时).
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
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【题目】小明和小亮在学习探索三角形全等时,碰到如下一题:如图1,若AC=AD,BC=BD,则△ACB与△ADB有怎样的关系?
(1)请你帮他们解答,并说明理由.
(2)细心的小明在解答的过程中,发现如果在AB上任取一点E,连接CE、DE,则有CE=DE,你知道为什么吗?(如图2)
(3)小亮在小明说出理由后,提出如果在AB的延长线上任取一点P,也有第2题类似的结论.请你帮他画出图形,并写出结论,不要求说明理由.(如图3)
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 三角形的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
B. 三角形的三条中线相交于一点
C. 直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点处
D. 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部
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【题目】如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )
A.AB=2BF
B.∠ACE= ∠ACB
C.AE=BE
D.CD⊥BE
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【题目】如图,过ABCD的对角线AC的中点O任作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点,连接EF,FG,GH,HE,有下面四个结论,①OH=OF;②∠HGE=∠FGE;③S四边形DHOG=S四边形BFOE;④△AHO≌△AEO,其中正确的是( )
A.①③
B.①②③
C.②④
D.②③④
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