Question

【题目】如图， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE=OD，

（1）求证：AP=DG

（2）若设AP=x，则GE=______，GC=_______（用含有x的代数式表示）；并求AP的长度

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）6－x； 8－x；AP=4.8 .

【解析】

（1）先根据长方形的性质证得△BAP≌△BEP，得到AP＝EP，再证明△ODP≌△OEG，进而得到DG＝EP，即可证明AP＝DG；（2）由△ODP≌△OEG可得GE＝DP＝6－x，由AP＝DG得到GC＝8－x，最后根据勾股定理求出AP的长即可.

（1）∵四边形ABCD是长方形，

∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.

根据题意得△BAP≌△BEP，

∴AP＝EP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，

在△ODP和△OEG中，，

∴△ODP≌△OEG，

∴OP＝OG，PD＝GE，

∴DG＝EP，

∴AP＝DG.

（2））由（1）易知GE＝DP＝6－x，DG＝x，

∴GC＝8－x，BG＝8－（6－x）＝2＋x，

根据勾股定理得到BC2＝GC2＋BG2，即62＋（8－x）2＝（x＋2）2，

解得x＝4.8，

∴AP＝4.8.