Question

如图，AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，过点C作CD∥AB，交⊙O于点D，连接BC、BD．
（1）判断BC与BD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB=9，BC=6，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）BC=BD，连接OB，并反向延长交CD于点E．由切线的性质和已知条件易证CE=ED，所以BC=BD；
（2）连接AO，与BC交于点F，AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，所以AO⊥BC，再证明△FAB∽△BAO，利用相似三角形的性质即可求出BO的长，即圆的半径．

解答：解：（1）BC=BD．理由如下：
连接OB，并反向延长交CD于点E．
∵AB与⊙O相切，切点为B，
∴∠EBA=90°．
∵CD∥AB，
∴∠DEB=∠EBA=90°，即BE⊥CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD．
（2）连接AO，与BC交于点F．
∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，
∴AB=AC，∠CAO=∠BAO．
∴AO⊥BC，BF=

1

2

BC=3．
∴在Rt△AFB中，AF=

AB2-BF2

=6

2

．
∵∠FAB=∠BAO，∠AFB=∠ABO=90°，
∴△FAB∽△BAO．
∴

FA

BA

=

FB

BO

，即

6 2

9

=

3

BO

．
∴BO=

9

4

2

，即⊙O的半径是

9

4

2

．

补其他方法：
∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC．
由（1）知△BDC是等腰三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD=∠BDC．
∴△ABC∽△BDC．
∴

AB

BC

=

BC

CD

，即

9

6

=

6

CD

．
∴CD=4．
∴CE=

1

2

CD=2．
在Rt△BEC中，BE=

BC2-CE2

=4

2

．
作OF⊥BC，垂足为F．则BF=

1

2

BC=3．
∵∠OFB=∠CEB=90°，∠OBF=∠CBE，
∴△OBF∽△CBE．
∴

BF

BE

=

OB

CB

，即

3

4 2

=

OB

6

．
∴OB=

9

4

2

，即⊙O的半径是

9

4

2

．
方法三：
∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC．
由（1）知△BDC是等腰三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD=∠BDC．
∴△ABC∽△BDC．（4分）
∴

AB

BC

=

BC

CD

，即

9

6

=

6

CD

．
∴CD=4．（5分）
∴CE=

1

2

CD=2．
在Rt△BEC中，BE=

BC2-CE2

=4

2

．
连接OC，在Rt△CEO中，EC²+OE²=OC²．
设⊙O的半径是R，则2²+（4

2

-R）²=R²．
解这个方程，得R=

9

4

2

，即⊙O的半径是

9

4

2

．

点评：本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．