Question

7．如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角形ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（-2，0），已知二次函数y=$\frac{3}{2}$x²+bx+c的图象经过B，C两点，过点C作CD⊥y轴，垂足为点D
（1）求证：AO=CD；
（2）求经过点B和点C的二次函数的解析式；
（3）现将一把直尺放置砸直角坐标系中，使直尺的A′D′∥y轴且经过点B（如图），直尺沿x轴正方形平移，当A′D′与y轴重合时运动停止，若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；
（4）在（3）的条件下，设点P为直尺的A′D′上一点，Q为BC的中点，BP⊥PC，若把直尺平移到（2）题中的抛物线的对称轴处，求点P的坐标和∠CPA的度数．

Answer 1

分析 （1）证△AOB≌△CDA即可；
（2）求出C点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）设出M点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，N点的纵坐标也用M的横坐标表示，将MN的长度表示为M、N两点的纵坐标之差，也就是将MN表示成M点横坐标的二次函数，通过配方求出最大值；
（3）由BP⊥PC，说明A、B、C、P四点共圆，又由于直尺移动到抛物线对称轴处，说明P点就是三角形ABC外接圆与抛物线对称轴的交点，作出图形，利用相似三角形的线段比例求解P点坐标，∠CPA的度数由圆周角性质直接写出．

解答 解：（1）∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△AOB和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠CAD}\\{∠ADC=∠BOA}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（AAS）
∴AO=CD，AD=BO；

（2）∵AO=CD，AD=BO，A（0，-1），B（-2，0），
∴C（-1，-3），
将B、C两点的坐标代入y=$\frac{3}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{-3=\frac{3}{2}-b+c}\\{0=6-2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$y=\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-3$；

（3）∵B（-2，0），C（-1，-3），
∴直线BC的解析式为：y=-3x-6，
设M（m，-3m-6），则N（m，$\frac{3}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m-3$），
∴MN=$-3m-6-\frac{3}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+3$=$-\frac{3}{2}{m}^{2}-\frac{9}{2}m-3$=$-\frac{3}{2}{（m+\frac{3}{2}）}^{2}+\frac{3}{8}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，MN取最大值$\frac{3}{8}$；

（4）∵BP⊥PC，∴∠BPC=90°=∠BAC，
∴A、B、C、P四点共圆，
即点P是△ABC外接圆与抛物线对称轴的交点，如图，

设抛物线对称轴与CD交于点E，与x轴交于点F，则E（-$\frac{1}{2}$，-3），F（-$\frac{1}{2}$，0），
∵BP⊥CP，
∴∠CPE+∠BPF=90°，
∵∠PBF+∠BPF=90°，
∴∠CPE=∠PBF，
∴△PBF∽△CPE，
∴$\frac{BF}{PF}=\frac{PE}{CE}$，
设PF=t，则PE=3-t，
∴$t（3-t）=\frac{3}{2}×\frac{1}{2}$，
解得：t=$\frac{3-\sqrt{6}}{2}$或t=$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$，
∴P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$-\frac{3-\sqrt{6}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，$-\frac{3+\sqrt{6}}{2}$），
当P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$-\frac{3-\sqrt{6}}{2}$）时，∠CPA=∠ABC=45°，
当P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$-\frac{3+\sqrt{6}}{2}$）时，∠CPA=180-∠ABC=135°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数最值、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与性质、圆周角的性质等多个知识点，有一定综合性，难度中等．判断出A、B、C、P四点共圆是解决第（4）问的关键．