Question

17．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=x²-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x²-3x-2可知，a₁=1，b₁=-3，c₁=-2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
（1）直接写出函数y=x²-3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y=-x²+$\frac{3}{5}$mx-3与y=x²-3nx+n互为“旋转函数”，求$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）已知函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．

Answer 1

分析 （1）根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂=-1，b₂=-3，c₂=-2，从而求出函数y=x²-3x-2的“旋转函数”；
（2）根据旋转函数的定义意得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ \frac{3}{5}m=-3n\end{array}\right.$，从而得到m=-15，n=3，进而求出求$（\frac{4}{15}m+n{）^{2015}}$的值；
（3）根据题意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），从而求出两个函数解析式，进而得到两个函数互为“旋转函数”．

解答 解：（1）在y=x²-3x-2中，a₁=1，b₁=-3，c₁=-2，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴a₂=-1，b₂=-3，c₂=-2，
可得函数y=x²-3x-2的“旋转函数”为y=-x²-3x+2；
（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ \frac{3}{5}m=-3n\end{array}\right.$，
∴m=-15，n=3．
∴（$\frac{4}{15}$m+n）²⁰¹⁵=[$\frac{4}{15}$×（-15）+3]²⁰¹⁵=-1，
（3）题意得A（-1，0），B（4，0），C（0，2），得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，-2），
又y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，经过点A₁，B₁，C₁的二次函数为
y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∵a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，
∴两个函数互为“旋转函数”．

点评 本题考查了二次函数综合题，熟悉待定系数法求函数解析式，明确确旋转函数的定义是解题的关键．