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    如图，抛物线与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点。设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S。P（m，n）是新抛物线上一个动点，切满足

    ⑴求新抛物线的解析式。

    ⑵当m=-2时，点F的坐标为，试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由。

    ⑶当的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系。

     

    ⑴⑵DF∥AE，理由见解析⑶△AEP=S

    解析:⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4），且过原点，可得，那么新抛物线的解析式为

    ⑵直线DF与AE的位置关系为DF∥AE。理由如下：当m=-2时，P（-2,0），把点P（-2,0）带入可得=4，所以点F（-8,0），又有点A(-4,0),D(-4,4),E(0,4)，可证△ADF和△OEA全等，所以∠AFD=∠OAE，所以DF∥AE。

    ⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，所以

    S=S正方形AOED=4×4=16.因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以，又因为P的坐标满足，

    所以=。

    当m=1时，取得最小值-5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）。

    所以△AEP=8，所以△AEP=S。

    ⑴由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（-2，-4） ，可求出原抛物线的解析式，从而求得新抛物线的解析式

    ⑵通过△ADF和△OEA全等，可得∠AFD=∠OAE，从而得出结论

    ⑶连结DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积，求得，得出结论

     

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
    （1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
    （2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
    （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
    （3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•历下区一模）如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是
    		10
    +5
    		10
    +5
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与y轴交于点A（0，4），与x轴交于B、C两点．其中OB、OC是方程的x2-10x+16=0两根，且OB＜OC．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）直线AC上是否存在点D，使△BCD为直角三角形．若存在，求所有D点坐标；反之说理；
    （3）点P为x轴上方的抛物线上的一个动点（A点除外），连PA、PC，若设△PAC的面积为S，P点横坐标为t，则S在何范围内时，相应的点P有且只有1个．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线与x轴交于A、B（6，0）两点，且对称轴为直线x=2，与y轴交于点C（0，-4）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MA、MC，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标；
    （3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

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