Question

2．如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，线段OP与圆O交于点E，连接AB交PO于点D．
（1）求证：∠PAD=∠ACB；
（2）求证：AC•AP=AD•OC．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由PA与圆O相切于点A，得到OA⊥AP于是得到∠OAD+∠DAP=90°，由BC是⊙O的直径，得到∠OAD+∠OAC=90°，即可得到结论；
（2）由（1）知∠PAD=∠ACB，由OP⊥BC，得到∠COA+∠AOP=90°，由于∠AOP+∠P=90°，得到∠COA=∠P，推出△ADP∽△COA，得到比例式$\frac{AC}{AD}=\frac{OC}{AP}$，结论可得．

解答 （1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切于点A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAD+∠DAP=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠OAD+∠OAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACB=∠OAC，
∴∠ACB=∠PAD；

（2）解：由（1）知∠PAD=∠ACB，∵OP⊥BC，
∴∠COA+∠AOP=90°，
∵∠AOP+∠P=90°，
∴∠COA=∠P，
∴△ADP∽△COA，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{OC}{AP}$，
∴AC•AP=AD•OC．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．